遞歸算子：算法穩定幣背後的數學魔法與挑戰

算法穩定幣的吸引力在於其新穎性和去中心化的承諾，但這種吸引力往往源於對區塊鏈和貨幣本質的誤解。其中，遞歸算子的引入是一個關鍵因素，因爲它爲鏈上操作帶來了新的可能性。

遞歸算子在連續的智能合約變換中，將上一個狀態作爲輸入並循環產生下一個狀態。這種結構在區塊鏈環境中自然形成，因爲鏈上數據的公開性和智能合約的串行設計構成了一個時間序列。遞歸處理可以產生非線性結構，甚至幾何級數效應，形成強烈的正反饋特徵。

然而，單純的時間序列遞歸並不理想，因爲它缺乏不確定性。真正值得關注的是多重遞歸算子，它在狀態變化間引入新的、不可預測的博弈信息。這種不可預測性與遞歸算子相互作用，形成一種可控的預期屬性。

以算法穩定幣爲例，定價算子產生價格Pt，擴張總量Mt作爲多重遞歸算子。Mt是Pt的函數，而Pt+1又依賴於Mt，形成間接遞歸關係。這種設計旨在通過負反饋實現價格穩定，但由於依賴二級市場的供需關係，其精確性和效率受到限制。

遞歸算子也可以提供正反饋，如某些系統中的回購機制。這種機制可以導致市場供給減少、價格漲、性能提升、需求增加、收益增加、回購增加，形成一個自我強化的循環。

從數學角度看，遞歸算子能否構建穩定的短週期屬性尚不明確。特別是對於算法穩定幣，由於其通過改變總量間接影響供需關係，傳導過程較慢，達到穩定均衡的難度更大。

在多重遞歸算子中，引入新信息的步驟至關重要。區塊鏈的一般均衡屬性有助於引入更多信息，這些信息在特定博弈結構下具有一定的不確定性。然而，這種不確定性又存在於一個統一的框架內，容易產生穩定性的錯覺。沒有嚴格的博弈論分析，很難準確把握整體均衡屬性。

在設計遞歸算子時，需要注意引入信息的頻率。過多的信息引入會削弱遞歸算子的效應。如果追求強化正負反饋，應減少新信息的引入；如果追求長週期回歸，則信息流本身也應具有周期性。

大多數DeFi領域的遞歸算子都與價格序列相結合，因爲價格博弈集中了大量信息且難以預測或控制。然而，目前多依賴AMM機制而非去中心化預言機，這可能導致遞歸過程變得可預測或可控制，違背了設計初衷。

未來，遞歸算子的應用可能會擴展到更多變量，特別是反映全市場博弈難度的參數。在設計DeFi時，應對遞歸算子進行詳細的信息傳導機制分析，以避免被預測和控制。這個領域仍有大量待探索的非線性算子系列，值得深入研究。